バイポーラトランジスタのモデリング

バイポーラトランジスタ (BJT) の構造

図4-3-1　極性定義

図4-3-1 では、明らかに下記の2式が成立します。

I_E + I_B + I_C = 0 (3-1a)

V_EB + V_BC + V_CE = 0 (3-1b)

　図4-3-2 に実際のBJTの構造例を示します。SiO₂層は、素子分離のために必要です。また、SiO₂層下部に広がるn+層（高濃度のn型不純物を含む埋め込み層）は、コレクタ電流がコレクタ電極に届くまでの抵抗値を下げるために挿入されています。どのようにしてこのような構造を作ることができるのか興味がある人は、プロセス/デバイスシミュレータ演習のページを見てください。SPICEでは、この構造を1次元で近似します。図中に柿色で囲った部分の"n+/p/n"の部分が1次元モデルで表現される部分です。

図4-3-2　BJT の構造例

Ebers-Moll のモデル

図4-3-3 Ebers-Moll の注入モデル

　SPICEでは、BJTの直流特性を示すために Ebers-Moll のモデルまたは Gummel-Poon のモデルを使用します。シミュレーションで使用するときにGummel-Poon モデルのパラメータを指定しなければ、自動的に Ebers-Moll のモデルが使用されます。図4-3-3に Ebers-Moll の注入モデルを示します。BJTは、2つのpn接合を持っているので、2個のダイオードの組み合わせにより表現できますが、実際にはダイオードを2個接続しただけでは増幅特性が現れません。BJTの増幅現象の本質を手短に述べると、「順バイアスされたB-E接合からベースに注入された少数キャリア（この場合は電子）が、再結合して消滅する前に逆バイアスされたB-C接合に到達してしまうため、ベース中の少数キャリアが、コレクタへと多量に流れ込んでしまう」ところにあります。B-C接合が逆バイアスされているなら、本来は、僅かに飽和電流が流れるだけなのですが、B-E接合との相互作用により、順バイアスされたB-E接合と同程度の大きな電流が流れてしまうので、両接合の電流の比 I_C/I_E（ベース接地電流増幅率）は、僅かに1より小さい値となります。電子回路の講義で習ったように、高抵抗の逆バイアスpn接合に大きい電流が流れれば、大きな電圧増幅を起こしたことに相当します。さらに、エミッタ接地形式にすれば、下記のように大きな電流増幅率を得ることも可能です。

I_C = -A_I I_E (3-2)

ここで、A_I はベース接地の電流増幅率。ここに、(3-1a) 式を代入して、整理すると、

I_C = B_I I_B (3-3a)

B_I = A_I/(1 - A_I) (3-3b)

となり、A_I = 1 ならば、エミッタ接地電流増幅率 B_I は、無限大の値となります。このように、図4-3-3 では、pn 接合 D1 に流れた、電流 I を A_F 倍して I2 に流してやることで増幅特性を表現しています。B-E 接合への B-C 接合の影響も同じように考えることができますので、BJT全体としては、図4-3-3 のように表現することができます。

ここで、I_F, I_R は、ダイオードに流れる電流なので、ダイオードモデルのページで示したように、下記のような非線形特性を示します。

I_F = I_ES { exp(qV_BE/kT) - 1 } (3-4a)

I_R = I_CS { exp(qV_BC/kT) - 1 } (3-4b)

さらに、これらを用いて I_C, I_E, I_B は、下記のように計算されます。

I_C = A_F I_F - I_R (3-5a)

I_E = A_R I_R - I_F (3-5b)

I_B = (1 - A_F) I_F + (1 - A_R) I_R (3-5c)

[注] ダイオードモデルのページで説明したように、GMIN (単位=1/ohm, デフォルト=10¹²)の値のコンダクタンスが、自動的にpn接合と並列に挿入されます。これは、.OPTIONS コマンドで値を設定できますが、SPICEの計算の収束安定性を確保するためのものなので、GMIN=10¹²よりは小さくできません。

　このモデルでは、D1, D2 の特性を表すパラメータ2個と、増幅特性を表すパラメータ A_I, A_R の合計4個のデバイスパラメータが必要となります。SPICEでは、パラメータの数を減らした Ebers-Moll の輸送モデルというのが使用されていますので、これについて説明します。

図4-3-4 Ebers-Moll モデルの変数置換

　先ず、図4-3-4のように変数の置換を行い、電流源を基準とした形に直します。これに伴い、I_C, I_E, I_B は、下記のように書き直されます。

[注]　SPICEのパラメータは、赤い文字で示すことにします。

I_CC = A_F I_F = A_F I_ES { exp(qV_BE/kT) - 1} = IS { exp(qV_BE/kT) - 1} (3-6a)

I_EC = A_R I_R = A_R I_CS { exp(qV_BC/kT) - 1} = IS { exp(qV_BC/kT) - 1} (3-6b)

I_C = I_CC - I_EC/A_R (3-6c)

I_E = I_EC - I_CC/A_F (3-6d)

I_B = (1/A_F - 1) I_CC + (1/A_R - 1) I_EC (3-6e)

但し、

IS = A_F I_ES = A_R I_CS (3-6f)

　ここまで式を導出してきた人は、式(3-6e) が如何して成立するのか不思議に思われたかもしれません。先ず、電子デバイス等の講義で習った電流増幅率 A_F の大小を決めるパラメータについて復習します。

A_F = A_E A_T A_C (3-7a)

　(3-7)式で、A_E がエミッタ注入効率で、エミッタ電流のうちベースの少数キャリアによる電流成分の比率です。ベースへの少数キャリア注入のし易さを表し、この値は、エミッタとベースの不純物濃度によって決まります。この値を高くするために、ベースの不純物濃度をエミッタより低くする必要があります。A_T がベースの輸送効率で、ベースに注入された少数キャリアが途中で再結合せずにコレクタの接合に到達する比率を表します。この値を高くするためにベースの厚さが薄い必要があります。A_C がコレクタ効率で、B-C接合に到いた少数キャリアが、B-C接合の電界でコレクタまで引き出されコレクタ電流になる比率を表します。これは、通常1と近似されます。

A_C = 1 と近似すると、

A_F = A_E A_T = (Ine/I_F) A_T (3-7b)

となります。但し、Ine は、ベース領域の少数キャリアの拡散電流成分を表します。

次に、逆バイアスを印加したB-E接合について考えます（図4-3-3 参照）。逆バイアスで飽和しているとき、近似的に I_F = I_ES が成立します。従って、

A_F = (Ine/I_F) A_T = (Ine/I_ES) A_T (3-7c)

一方、逆バイアスしたB-C接合でも同様に、

A_R = (Inc/I_R) A_T = (Inc/I_CS) A_T (3-7d)

　図4-3-5に示すように、逆方向の拡散電流Inはベース領域の少数キャリア濃度のみに依存しますので、ベース領域が均一という仮定のもとで Ine = Inc と考えられます。従って、(3-6f) 式が成立します。

Ine = Inc = A_F I_ES = A_R I_CS (3-6f)

図4-3-5 逆バイアスされた pn 接合のキャリア濃度分布

(3-6a), (3-6b) 式で、パラメータを1つ減らすことができたので、Ebers-Moll のモデルを少し簡単化しましょう。

I_C = I_CC -I_EC/A_R = IS { exp(qV_BE/kT) - 1} - IS { exp(qV_BC/kT) -1}/A_R = IS {exp(qV_BE/kT) - exp(qV_BC/kT)} -{(1-A_R)/A_R} IS { exp(qV_BC/kT) - 1} (3-8)

ここで、下記のように変数とパラメータを定義します。

I_C = I _CT - I_EC/BR (3-9a)

I_CT = IS {exp(qV_BE/kT) - exp(qV_BC/kT)} (3-9b)

BR = A_R/(1 - A_R) (3-9c)

同様にして、次式が得られる。

I_E = I_EC - I_CC/A_F = -I_CT - I_CC/BF (3-9d)

BF = A_F/(1 - A_F) (3-9e)

I_B = I_CC/BF + I_EC/BR (3-9f)

(3-9a), (3-9d), (3-9f) 式より、図4-3-6 のようなモデルで表現可能であることがわかります。以上に説明した3つのパラメータ、BF, BR, IS がBJTモデルの最も基本的なパラメータとなります。

図4-3-6 Ebers-Moll の輸送モデル

2次的効果の挿入

RB = (1 + BF) RE (3-10)

の形で、ベース抵抗に換算されます。また、コレクタ抵抗 RE は、飽和領域（V_CE小）の領域のI_C - V_CE 特性の傾きなどに効きます。

図4-3-7 寄生抵抗

　SPICEモデルでは、Early効果をシミュレートするためのアーリ電圧が、パラメータ VAF として用意されていいます。Early 効果は、V_CE に逆バイアス印加するとき、B-C接合の空乏層幅がV_CEに依存し、これに伴いベース幅もV_CEに依存するため、電流増幅率がV_CEにより変化してしまう現象です。BJT特性としては、図4-3-8 のように Ic - V_CE 特性に傾きが現れ、外挿するとV_CE軸と大体1点で交わるという特長があります。ベース幅 W_B が近似的に V_CE と直線関係にあるとすると、

W_B = W_B(0) (1 + V_BC/VAF) (3-11a)

IS(V_BC) = IS(0) (1 - V_BC/VAF) (3-11b)

BF(V_BC) = BF(0) (1 - V_BC/VAF) (3-11c)

のように表せます。VAFを定義した場合、SPICEパラメータ IS, BF は、(3-11b), (3-11c) 式の、IS(0), BF(0) を定義していることに注意してください。また、エミッタとコレクタを入れ替えて逆方向のアーリー電圧 VAR というものも定義できます。

図4-3-8 Early 電圧

蓄積電荷モデルのパラメータ

図4-3-9 蓄積電荷の分布

　pn接合のバイアスにより注入された少数キャリアの分布が、図4-3-9 のように直線近似できるとき、「拡散電流（キャリアの濃度勾配によって流れる）は少数キャリアの電荷量に比例」する関係が成立します。増幅された電流成分I_CCの流れと比例する電荷をQDEとします（QDE 〜 QE + QBF）。このとき、比例係数を TF で表すと、次式のようになります。

QDE = TF I_CC (3-12a)

TF は、トランジェントタイムと呼ばれ、時間の次元を持ちます。同様に、I_EC の流れと比例する電荷を QCE（QCE 〜 QE + QBR）とすると、

QCE = TR I_EC (3-12b)

と表せ、TR は、逆方向トランジェントタイムと呼ばれます。(3-12a), (3-12b) の関係式を用いて、次のようにエミッタ拡散容量 CDE とコレクタ拡散容量 CDC を計算することができます。

CDE = dQDE/dV_BE = TF dI_CC/dV_BE (3-13a)

CDC = dQDC/dV_BC = TR dI_EC/dV_BC (3-13a)

空乏層容量

CJE(V_BE) = CJE(0)/(1 - V_BE/VJE)^MJE (3-14a)

CJC(V_BC) = CJC(0)/(1 - V_BC/VJC)^MJC (3-14b)

CJS(V_CS) = CJS(0)/(1 - V_CS/VJS)^MJS (3-14c)

また、ダイオードモデルのページで説明したように、空乏層容量が順バイアスで発散しないためのパラメータとして、FCが用意されています。値は、0 - 1 の間で適当に設定します。VJE, VJC, VJS はそれぞれの接合のビルトインポテンシャル（pn接合電流-電圧特性の立ち上がり電圧と大体一致）、MJE, MJC, MJS はそれぞれの接合の指数（0.5 - 0.33）で、不純物濃度分布形に依存します。以上のモデルを回路図表示すると図4-3-10 のようになります。

図4-3-10 容量モデルを含む等価回路図

Gummel-Poon モデルパラメータ

　BFのI^C依存性（V_BC一定）を模式的に図4-3-11に示す。

図4-3-11 BFの電流依存性（１）

　I_C または I_Bが小さい領域と大きい領域で、BFの減少が見られます。I_Cの小さい領域では、E-B接合での再結合電流が増大し相対的にエミッタ注入効率が低下しています。また、I_Cの大きい領域では、高水準注入により多数キャリアの増大を招き、やはりエミッタ注入効率が低下します。この様子を図4-3-12 に示します。

図4-3-12 BFの電流依存性（２）

この図の特性を表現するためのパラメータとして次のようなパラメータが使用されています。NE は、B-E接合リークエミッション係数、NF は、順方向電流エミッション係数、 IKF は、順方向大電流BF減少点、ISE B-E接合リーク飽和電流を示しています。逆方向の輸送特性に対しても同様にして、B-C接合リークエミッション係数 NC、逆方向電流エミッション係数 NR、逆方向大電流BF減少点 IKR、B-C接合リーク飽和電流 ISC が定義されます。この他、内部ベース抵抗（エミッタ直下の領域）のI_B依存性や、TFのバイアス依存性、各種温度依存性やノイズ特性などを決定するパラメータ（ダイオードモデルのページ参照）が準備されていますが、ここでは省略します。

　以上のSPICEパラメータをまとめると次の表のようになります。

表１　ダイオードモデルのパラメータ

パラメータ	意味	デフォルト	単位	備考
IS	飽和電流	10-16	A	面積ファクタの影響有り
BF	最大順方向BF	100	-	-
BR	最大逆方向BF	1	-	-
RB	ベース抵抗	0	ohm	面積ファクタの影響有り
RE	エミッタ抵抗	0	ohm	面積ファクタの影響有り
RC	コレクタ抵抗	0	ohm	面積ファクタの影響有り
VAF	順方向アーリ電圧	infinite	V	-
VAR	逆方向アーリ電圧	infinite	V	-
TF	順方向トランジェントタイム	0	s	-
TR	逆方向トランジェントタイム	0	s	-
CJE	ゼロバイアスB-E接合容量	0	F	面積ファクタの影響有り
CJC	ゼロバイアスB-C接合容量	0	F	面積ファクタの影響有り
CJS	ゼロバイアスC-S接合容量	0	F	面積ファクタの影響有り
VJE	B-E接合ビルトイン電圧	0.75	V	-
VJC	B-C接合ビルトイン電圧	0.75	V	-
VJS	C-基板接合ビルトイン電圧	0.75	V	-
MJE	B-E接合C-V特性指数	0.33	-	-
MJC	B-C接合C-V特性指数	0.33	-	-
MJS	C-基板接合C-V特性指数	0	-	-
FC	順方向バイアス空乏層容量係数	0.5	-	-
NE	B-E接合リークエミッション係数	1.5	-	-
NC	B-C接合リークエミッション係数	2	-	-
NF	順方向電流エミッション係数	1	-	-
NR	逆方向電流エミッション係数	1	-	-
IKF	順方向大電流BF減少点	infinite	A	-
IKR	逆方向大電流BF減少点	infinite	A	-
ISE	B-E接合リーク飽和電流	0	A	-
ISC	B-C接合リーク飽和電流	0	A	-
EG	バンドギャップ	1.11	eV	-
XTI	ISの温度係数	3	-	-

（参考）SPICE のデバイスモデルパラメータには、大文字と小文字の見分けはない。

[演習問題]

1. V_BE - ln I_C プロット
2. V_BC - ln I_B プロット

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